Wurzelrechner
Wurzelrechnung wie funktioniert das? Was genau steht hinter der Wurzelrechnung und wofür brauche ich die Wurzelrechnung. Geben Sie einfach die Wurzelbasis und den Wurzelexponenten ein und schon wird Ihnen der Wert der Wurzel ausgegeben.
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Was ist Wurzelrechnung?
Wer eine Zahl potenziert hat und diese Rechnung umkehren möchte, benötigt das mathematische Instrument der Wurzel. Bei der Wurzelrechnung, die auch als Ziehen der Wurzel bezeichnet wird, wird nach der Zahl gesucht, die ursprünglich potenziert wurde. Wurzelrechnung findet neben der mathematischen Wissenschaft auch in zahlreichen Alltagssituationen Anwendung.
Wie funktioniert das hilfreiche Tool?
Dieses hilfreiche Tool ist beim Ziehen der Wurzel behilflich. Für seine Berechnung benötigt es die Wurzelbasis, die unterhalb des typischen Wurzelsymbols steht, und den Wurzelexponenten, der am linken Rand des Wurzelzeichens zu finden ist. Mit der Angabe dieser Größen kann das hilfreiche Tool den Wert der Wurzel errechnen. Der Wurzelrechner ist somit für alle Personen interessant, die die Wurzel einer gegebenen Zahl bestimmen möchten. Dies betrifft Schüler, die ihre Ergebnisse überprüfen wollen, ebenso wie Mathematiker und Fachleute anderer Berufsgruppen, deren Rechnungen keine Fehler aufweisen dürfen.
Die Wurzelbasis
Damit das hilfreiche Tool den Wert der Wurzel bestimmen kann, benötigt es zuerst die Angabe der Wurzelbasis. Ist die Aufgabe schriftlich vorhanden, findet sich dieser Wert unterhalb des Wurzelzeichens. Die Wurzelbasis beschreibt den Zahlenwert, der nach dem Potenzieren der gesuchten Zahl als Ergebnis auftrat, aus diesem Wert soll nun die Wurzel gezogen werden. Die Wurzelbasis ist in der Regel eine reelle Zahl, die größer oder gleich Null ist. Der Zahlenwert der Wurzelbasis wird in das erste Kästchen des hilfreichen Tools eingetragen, zur Abtrennung von Nachkommastellen kann sowohl ein Punkt als auch ein Komma genutzt werden.
Der Wurzelexponent
Im zweiten Schritt fragt der Wurzelrechner nach dem Zahlenwert des Wurzelexponenten. Wenn die Aufgabe schriftlich vorliegt, findet sich dieser Wert links oberhalb des Wurzelzeichens, er steht häufig klein geschrieben auf einem kleinen Strich. Der Wurzelexponent ist der Wert, mit dem die gesuchte Zahl ursprünglich potenziert wurde, beim Ziehen der Wurzel wird also der Exponent zum Wurzelexponenten. Der Wurzelexponent ist eine reelle Zahl und kann positiv, negativ und gleich Null sein. In vielen Fällen besitzt der Wurzelexponent den Wert 2. Findet sich keine Angabe über die Größe dieses Zahlenwerts, soll in der Regel die zweite Wurzel gezogen werden. Daher ist der Wert 2 bereits automatisch im zweiten Kästchen des Rechners eingetragen. Soll hingegen eine Wurzel mit einem anderen Wurzelexponenten gezogen werden, wird die Zahl 2 manuell gelöscht und stattdessen der gegebene Wurzelexponent in das zweite Kästchen des Rechners eingefügt.
Den Wert der Wurzel berechnen
Im letzten Schritt kann nun der gesuchte Wert der Wurzel berechnet werden. Unterhalb des großen weißen Feldes findet sich hierfür ein Button mit der Aufschrift Berechnen. Ein Klick auf diesen Button startet das hilfreiche Tool, der Rechner zieht die Wurzel aus der Wurzelbasis. Im weißen Feld wird umgehend das Resultat der Berechnung angezeigt. Über einen Klick auf den Button mit der Aufschrift Drucken kann das Ergebnis des hilfreichen Tools auch ausgedruckt werden.
Eine Beispielrechnung: Ein Wissenschaftler zieht die Wurzel
An einer Beispielrechnung lässt sich anschaulich erläutern, wie das hilfreiche Tool genau funktioniert. Dabei stößt ein Wissenschaftler bei seiner Rechnung auf ein Problem: Er benötigt den Wert einer Wurzel, damit er seine Rechnungen fortsetzen kann. Ursprünglich hat er eine Zahl mit dem Exponenten 3 potenziert, als Resultat erhielt er die Zahl 125. Weil er den Wert der ursprünglichen Zahl benötigt, nutzt er das hilfreiche Tool. Die Wurzelbasis in diesem Beispiel ist die Zahl 125, der Wissenschaftler fügt sie in das erste Kästchen des Rechners ein. Weil er die gesuchte Zahl ursprünglich mit 3 potenziert hat, löscht er die Zahl 2 aus dem zweiten Kästchen und fügt stattdessen die Zahl 3 ein. Mit einem Klick auf Berechnen startet er das hilfreiche Tool. Im weißen Feld wird ihm nun das Ergebnis der Wurzelrechnung angezeigt, der gesuchte Wert der Wurzel beträgt 5.
Häufig gestellte Fragen
Wurzelrechnung, was ist das eigentlich?
Beispielrechnungen der Wurzelrechnung
Was ist die Wurzelbasis und der Wurzelexponent?
Wozu braucht man Wurzelrechnung?
Häufig gestellte Fragen
Wurzelrechnung, was ist das eigentlich?
Um die Wurzelrechnung genauer zu erklären, muss vorher die Potenzrechnung klar gestellt werden, denn mit Hilfe von dieser, kann man sehr leicht erkennen, worum es sich bei der Wurzelrechnung handelt. Hierbei werden die Gleichungen recht allgemein gehalten, ohne Zahlen, lediglich Variablen. Bei einer Potenzrechnung haben wir, wie der Name schon sagt, eine Potenz in der Gleich, die zum Beispiel "a hoch n = x" aussehen kann. Hierbei sind a und der Exponent n bereits gegeben und das Ergebnis x ist hier gesucht.
Bei der Wurzelrechnung ist das genau andersherum: Hier sei zum Beispiel die Gleichung "x hoch n = a" gegeben, wobei diesmal x gesucht ist. Um dieses zu ermitteln, nutzt man nun die Wurzelrechnung oder man sagt auch: Man zieht hier die Wurzel. Man kann sich als Grundlage merken, dass das Wurzel ziehen, auch radizieren genannt, die Umkehrung zum potenzieren ist.
Wie berechne ich die Wurzel?
Um x zu berechnen, wird die n-te Wurzel gezogen. n ist dabei eine beliebige Zahl, meist liegt sie im Bereich der natürlichen Zahlen, dies ist aber nicht immer der Fall. Des Verständnisses wegen, wird nun ein kleines Rechenbeispiel angeführt: Die Ausgangsgleichung sei zum Beispiel folgende: a=x hoch n. Gesucht ist hier x, wobei a und n bereits gegeben sind. Um x zu ermitteln, müssen wir die n-te Wurzel ziehen:
a=x hoch n -> x = n-te Wurzel aus a!
Da die Variablengleichungen manch einen etwas verwirren mögen, folgen nun drei Rechnungen mit Zahlen, diese bleiben der Verständnis halber simpel gehalten.
Was auch zu merken ist, wäre folgendes: Ist n eine gerade Zahl, so hat die Gleichung immer zwei Lösungen. Zum einen wäre das "x1=n-te Wurzel aus a" und zum anderen "x2= - n-te Wurzel aus a". Das hängt mit den Potenzen zusammen. Wie am Anfang bereits beschrieben, ist das Radizieren die Umkehrung des Potenzierens und wenn man eine negative Zahl potenziert, erhält man eine positive Zahl.
Beispielrechnungen der Wurzelrechnung
1. 2 hoch 2 = 4 -> 2-te Wurzel aus 4 = 2!
2. 5 hoch 3 = 125 -> 3-te Wurzel aus 125 = 5!
3. 3 hoch 4 = 81 -> 4-te Wurzel aus 81 = 3!
An dem Beispiel wird also nochmals verdeutlicht, dass man durch die n-te Wurzel an den Wert unter der Potenz kommen kann, dabei ist es völlig egal, was für eine Zahl im Exponenten steht.
Was ist die Wurzelbasis und der Wurzelexponent?
Wie in vielen anderen Bereichen der Mathematik, werden auch hier verschiedene Fachbegriffe verwendet. Dabei fallen bei den Wurzelrechnungen besonders die Wurzelbasis und der Wurzelexponent auf. Was das genau für Begriffe sind und wofür sie stehen, werden nun im näheren erläutert.
Um das zu verdeutlichen, wird die folgende Gleichung zur besseren Anschauung verwendet:
x= n-te Wurzel aus a. Man liest genauso, wie es hier geschrieben wurde: x ist die n-te Wurzel aus a. Die Variable x ist diese Wurzel, n - also die Potenz ist der Wurzelexponent und a wird als Wurzelbasis bezeichnet.
Wozu braucht man Wurzelrechnung?
Streng genommen wird Wurzelziehen nach folgender Überlegung angewendet: Mit welcher Zahl muss ich einen vorgegeben Exponenten potenzieren, um die Zahl zu erhalten, die bereits gegeben ist?
Sicherlich gibt es auch einige "reale" Anwendungsmöglichkeiten. Angenommen irgendjemand möchte sein Grundstück verkaufen. Es hat eine bestimmte Breite und eine bestimmte Länge, diese seien zum Beispiel ungleich. Es handelt sich also schon einmal um kein Quadrat. Pro Quadratmeter gibt es einen bestimmten Preis, der für die Menge der Quadratmeter ausgerechnet wird. Wir haben nun einen Interessenten, diesem ist der Preis jedoch zu teuer und deswegen möchte er alles selber nachmessen. Dafür misst er eine Diagonale um die genaue Größe des Grundstückes zu berechnen. Da das Grundstück aber nicht rechteckig ist, muss man die Fläche anderweitig berechnen, unter anderem, mit Hilfe der Wurzelrechnung. Mit Sicherheit wird der normale Bürger nicht mit einem Zollstock über das Grundstück laufen, jedoch kann es immer vom Vorteil sein, dies so im Vorfeld berechnen zu lassen oder selber zu berechnen. Ein weiteres Beispiel wäre zum Beispiel, wenn man ein Grundstück erbt oder es auf andere Wege bekommt und nur weiß, dass es quadratisch ist und dass die Fläche 400 m² beträgt. Mit Hilfe des Wissens, dass die Fläche des Quadrates mit dem Quadrat einer Seite berechnet wird, kann man durch das Wurzelziehen schnell die Seitenlänge einer Seite des Grundstückes ermitteln, um zum Beispiel zu wissen, wie lang der Zaun sein muss. Dann zieht man einfach die 2-te Wurzel aus 400 und erhält 20.
Weitere Beispielaufgaben
Es kann auch sein, dass man folgende Potenz als Wurzel schreiben soll: 2 hoch 1/4. Dies ist auch relativ einfach, wenn man sich merkt, dass der Nenner ( 4 ) dasselbe ist wie n und dass der Zähler ( 1 ), als Potenz unter der Wurzel steht, um das zu verdeutlichen werden auch hier einige Beispielaufgaben gegeben.
Die Aufgabe lautet immer noch: "Schreibe folgende Potenzen als Wurzel auf!"
1. 6 hoch 3/4 -> 4-te Wurzel aus 6 hoch 3
2. 2 hoch 3 -> 3-te Wurzel aus 2
3. x hoch 3/4 -> 4-te Wurzel aus x hoch 3
4. z hoch 2/5 -> 5-te Wurzel aus z hoch 2