Wahrscheinlichkeitsrechner
Mit großer Wahrscheinlichkeit voraussagen können, was passieren wird. Was klingt, wie ein Besuch im Wagen einer Wahrsagerin und äußerst spannend. Für viele Schüler ist die Stochastik, wie die Wahrscheinlichkeitsrechnung auch genannt wird, eine Qual, denn in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, die ein Teil der Mathematik ist, gibt es nichts magisches sondern nur komplizierte Formeln mit langen Herleitungen.
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Mit dem Hilfreiche-Tools-Wahrscheinlichkeitsrechner bleibt Ihnen dieser beschwerliche Weg, der nur Statistiker und Mathematiker erfreuen kann, erspart, und Sie kommen trotzdem in den Genuss, beim nächsten Karten- oder Würfelspiel immer die Oberhand zu behalten. Im Casino beim Blackjack hätte dieses Wissen einen immensen Wert. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist kein Hexenwerk, aber mit dieser Art zu rechnen können Sie vorauszusagen, ob ein Ereignis ziemlich sicher eintreten wird, oder eben eher nicht.
So funktioniert der Wahrscheinlichkeitsrechner
Der Wahrscheinlichkeitsrechner kann die Wahrscheinlichkeiten beim Ziehen oder Würfeln für Sie berechnen. Hierfür geben Sie einige wenige Angaben in die dafür vorgesehenen Felder ein, klicken auf „Berechnen“ und schon bekommen Sie Ihr Ergebnis druckreif auf Ihren Bildschirm. Wenn Sie daneben auf „Drucken“ klicken, haben Sie Ihr Ergebnis auch noch schwarz auf weiß aus Ihrem Drucker.
Ein Beispiel:
Wenn Sie sich fragen, wie hoch die Chancen stehen eine 6 zu würfeln, ist die Rechnung gar nicht so schwer. Ein Würfel bietet 6 verschiedene Möglichkeiten an zu fallen: auf die 1, 2, 3, 4, 5 oder 6. Sie wollen gerne eine 6 würfeln, also ist die Wahrscheinlichkeit 1 zu 6, was 0,166 ergibt. Man dividiert dabei die Anzahl der gewünschten durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse.
Wenn Sie eine 5 oder eine 6 brauchen, um das Spiel zu gewinnen, ist die Rechnung so: 2 der möglichen 6 Seiten des Würfels wären für uns ein Gewinn. Also 2/6 = 1/3. Die Wahrscheinlichkeit liegt in diesem Fall also bei 0,3333… (Periode). Also liegt die Wahrscheinlichkeit, dass Sie eine 5 oder 6 würfeln deutlich höher, als wenn Sie nur eine 6 würfeln würden. Dieses Beispiel steht für einen Durchgang.
Wenn Sie mehrere Durchgänge haben, verändert sich die Wahrscheinlichkeit wieder. Wenn Sie, um zu gewinnen dreimal hintereinander eine 6 würfeln müssen, ist die Wahrscheinlichkeit nicht mehr 1/6 sondern 1/6 x 1/6 x 1/6 und das würde 1/216 ergeben, was 0,00462 ergeben würde und mit größter Wahrscheinlichkeit misslingen würde.
Damit unser Wahrscheinlichkeitsrechner diese Vorhersage für Sie treffen kann, braucht er einige Angaben von Ihnen:
| Methode | Hier haben Sie die Wahl zwischen „Ziehen“ und „Würfeln“. |
| Gesamtzahl | Hiermit ist die Zahl der Möglichkeiten von Spielbeginn an gemeint. Bei einem Kartenspiel z. B. 32 und beim Würfeln die 6. |
| Gesucht | Hier wird die Anzahl dessen eingegeben, nach dem man quasi fragt. 4 für 4 Asse im Kartendeck oder 1 wenn man mit einmal Würfeln eine 6 haben will, oder 2 wenn man eine 5 oder 6 haben will |
| Durchgänge | Mit Durchgänge ist gemeint, wie oft Sie am Zug sein werden. |
| Ausgabe | Hier können Sie für Ihr Ergebnis zwischen Prozent und Zahl wählen |
| Runden | Auf wie viele Stellen soll der Wahrscheinlichkeitsrechner das Ergebnis für Sie runden? |
Das Ergebnis wird in den Spalten „p“ und „?p“ ausgegeben. Die Anzahl der Runden, in denen Sie immer eine 6 würfeln wollen, wird z. B. als P1, P2 und P3 bei drei Runden angezeigt. Während in unserem Beispiel bei P1 die Wahrscheinlichkeit am höchsten ist, dass sie eine 6 würfeln, nimmt sie bei P2 schon deutlich ab (sie liegt dann bei 0,0666) und ist bei P3 schon verschwindend gering (0,00462). P steht für das Ergebnis des einmaligen Würfelns und das Ergebnis bei ?p steht für die Wahrscheinlichkeit des wiederholten Eintretens des gewünschten Ergebnisses.
Um zu verstehen, wie viel Rechenarbeit Ihnen der Wahrscheinlichkeits-Rechner abnehmen wird, kratzen wir mal vorsichtig an der Kruste der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Kombinatorik und viele andere Felder der Wahrscheinlichkeitsrechnung werden wir außen vor lassen müssen, da dies den Rahmen sprengen würde und Sie ja einfach unseren Wahrscheinlichkeitsrechner benutzen können.
Gegenwahrscheinlichkeit
Alle Wahrscheinlichkeiten haben eine Gegenwahrscheinlichkeit. Diese hat die Formel: Wahrscheinlichkeit + Gegenwahrscheinlichkeit = 1
Um bei unserem Würfelbeispiel zu bleiben:
Wenn die Wahrscheinlichkeit, dass Sie mit einmal würfeln eine 6 bekommen bei 0,333 liegt, ist die Gegenwahrscheinlichkeit, dass Sie keine 6 würfeln werden 1 – 0,333 = 0,667 (immer auf drei Stellen gerundet). Damit ist die Gegenwahrscheinlichkeit, dass Sie eine 6 würfeln doppelt so hoch, wie die, dass Sie eine 6 würfeln werden.
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Unter einer bedingten Wahrscheinlichkeit versteht man die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses unter der Voraussetzung, dass das Eintreten eines anderen Ereignisses bereits bekannt und erfolgt ist. Sie haben schon einmal die 6 gewürfelt und wollen wissen, wie wahrscheinlich es ist, dass Sie sie nun im nächsten Wurf noch einmal werfen werden.
Mindestens einmal
Wenn es darum geht, die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, wie oft etwas gemacht werden muss, bis es eintrifft, also wie oft müssen Sie würfeln, um recht sicher eine 6 zu bekommen, geht die Rechnung so: 1 minus die Wahrscheinlichkeit aller Züge
Die Wahrscheinlichkeit, dass ich bei zehnmal würfeln eine 6 bekomme ist 1 -( 5/6 x 5/6 x 5/6 x 5/6 x 5/6 x 5/6 x 5/6 x 5/6 x 5/6 x 5/6) = 0,839
Zufallsexperiment
In dieser Art der Wahrscheinlichkeitsrechnung geht es um Versuche, deren Ergebnisse Sie nicht vorhersagen können, da sie vom Zufall abhängig sind. Es gibt einstufige Zufallsexperimente, bei denen der Versuch einmal gewagt wird und mehrstufige, bei denen der Versuch eines Zufallsexperimentes mehrmals wiederholt wird. Ein Beispiel für einen mehrstufigen Zufallstest spielt sich bundesweit wöchentlich in Lotto-Annahmestellen ab.
Umrechnung
Wahrscheinlichkeiten werden eigentlich bei jeder Vorhersage, die statistische Hintergründe hat, benutzt. Wie viele Leute werden in 2007 zu einer veganen Lebensweise wechseln? Wie viele Leute werden sich an der Wahl beteiligen? Wie wahrscheinlich ist es, dass Angela Merkel noch einmal als Kanzlerin antritt? Wie viele Sitze wird die SPD erhalten?
Die Umrechnungswahrscheinlichkeitsrechnung funktioniert wie folgt:
Wahrscheinlichkeit 1: Ihnen ist egal, was Sie würfeln. Bei unserem Würfelspiel liegt die Wahrscheinlichkeit, dass Sie eine 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 würfeln, dann bei 100 % und somit ist sicher, dass Sie eine der sechs möglichen Augenzahlen bekommen werden.
Wahrscheinlichkeit 0,5: Sie beschränken sich auf drei Zahlen, z. B. die 4, 5 und 6. Nun sinkt die Wahrscheinlichkeit auf 50 %, dass Sie die gewünschten Augen würfeln.
Wahrscheinlichkeit 1/6 (0,166): Sie wollen unbedingt die 6 und keine andere Zahl. Damit ist die Wahrscheinlichkeit 16,6 %.
Unmögliches Ergebnis
Nichts ist unmöglich? Doch, das geht. Um eine unmögliche Ergebnismenge zu erhalten, versuchen Sie mal eine 7 oder 8 mit einem Würfel und einem Durchgang zu würfeln. Das nennt sich „Unmögliches Ergebnis“.
Das Bernoulli Experiment
Dieses Experiment fußt auf der Kenntnis der Bionominalverteilung. Diese besagt, dass jedes Spiel, jeder Versuch und jedes Experiment nur zwei mögliche Ergebnisse hat: es funktioniert oder es funktioniert nicht.
Wenn das Würfeln der 6 ein Erfolg ist und jede andere Zahl ein Misserfolg, dann ist die Wahrscheinlichkeit 1/6. Diese Herangehensweise nennt sich Bernoulli Experiment, nach dem Schweizer Mathematiker Jakob I. Bernoulli (1654 – 1705). Wenn man den Test wiederholt wird es zu einer Bernoulli-Kette.
Mit und ohne Zurücklegen
Stellen Sie sich folgendes Szenario vor: In einem Karton sind 10 bunte Schokokugeln. Drei sind Rosa, drei sind Weiß, zwei Grün und zwei sind Braun. Sie können nicht in die Schachtel sehen, um Ihre Lieblingsfarbe zu wählen und nehmen blind mit einem Griff auf einmal 2 Kugeln heraus und essen diese sofort, dann nennt man das in der Wahrscheinlichkeitsrechnung „ohne Zurücklegen“.
Nun stellen Sie sich dieses Szenario vor, dass Sie erst eine nehmen und sie wieder zurücklegen und erst dann erneut hineingreifen und sich die beiden Kugeln nehmen. So haben Sie mehr Möglichkeiten zu erahnen, wo die Lieblingsfarbe ist und eventuell sogar zwei davon erwischen.
Von den 10 Schokokugeln sind nur zwei braun und genau die beiden wollen Sie. Damit ist die Wahrscheinlichkeit 2/10. Wenn Sie eine davon erwischen und wieder in die Schachtel legen und die Schachtel schütteln, ist die Wahrscheinlichkeit erneut 2/10 und beim dritten Mal ebenso.
Also: 2/10 x 2/10 x 2/10 = 0,008
Ohne Zurücklegen zwei Kugeln mit einem Griff entnehmen: 2/10 x 2/8 x 2/6
Mit Zurücklegen erst zwei Kugeln nehmen und dann wieder zurück legen und dann wieder ziehen:
2/10 · 2/10 · 2/10
Die Wahrscheinlichkeit die richtigen Kugeln zu erwischen ist ohne Zurücklegen natürlich größer.
Laplace-Experiment
Wenn man annimmt, dass nur endlich viele Elementarereignisse möglich und alle gleichberechtigt sind, d. h. mit der gleichen Wahrscheinlichkeit eintreten, wie beim Münzwurf, wo Kopf oder Zahl jeweils eine Wahrscheinlichkeit von 50 % besitzt, spricht man von einem Laplace-Experiment.
Historie der Wahrscheinlichkeitsrechner und der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Die Wahrscheinlichkeitstheorie entstand aus der Problematik, einen Glücksspieleinsatz nach einem abgebrochenen Spiel gerecht zu verteilen. Es wird stark vermutet, dass die Stochastik schon im Altertum bei Griechen und Römern bekannt war. Belegt ist die erste Wahrscheinlichkeitsrechnung allerdings erst 1654, da sie in einem Brief zwischen Blaise Pascal (französischer Mathematiker und Physiker, 1623 – 1662) und Pierre de Fermat (französischer Mathematiker und Jurist, 1601 – 1665) erwähnt wird. Das erste Lehrbuch zur Wahrscheinlichkeitsrechnung erschien erst 1933.
Heute ist die Wahrscheinlichkeitstheorie eine Grundlage der mathematischen Statistik. Die angewandte Statistik nutzt Ergebnisse der Wahrscheinlichkeitstheorie, um Umfrageergebnisse zu analysieren oder Wirtschaftsprognosen zu erstellen. Auch Physiker nutzen die Wahrscheinlichkeitsrechnung, um theoretische Beschreibungen Ihrer Resultate, z. B. in der Quantenmechanik darstellen zu können.