Logarithmus Rechner

Der Logarithmus ist ein unverzichtbares Mittel zum Lösen von Exponentialgleichungen. Er dient dazu, den unbekannten Exponenten x zu bestimmen.

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Um die Gleichung y = 2x nach x aufzulösen, genügen die vier Grundoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division zum Logarithmus berechnen nicht mehr. So sieht die Auflösung der Gleichung Schritt für Schritt aus:

y = 2x logarithmieren
log2y = x

In Worten ausgedrückt: Der Logarithmus von y mit der Basis 2 ist gleich x. Die Frage ist, welche Hochzahl x Sie benötigen, um die Zahl y zu erhalten. Hier einige Beispiele:

log216 = 4, weil 24 =16
log21024 = 10, weil 210 = 1024

Natürlicher und dekadischer Logarithmus

Der natürliche Logarithmus leitet sich von der eulerschen Funktion n der Form y = eax ab. Beispiele sind y = e3x oder y = e6x. Die eulersche Zahl e tritt in diversen naturwissenschaftlich-technischen Funktionen auf. Sie geht auf Leonhard Euler zurück und stammt aus dem Jahr 1728. I

hr Wert beträgt in gerundeter Form 2,718. Die Basis e führt zum natürlichen Logarithmus. Sein Ausdruck ist y = logex oder abgekürzt y = lnx. Der dekadische Logarithmus beruht auf der Basiszahl 10. Die Form ist y = log10r oder y = lgr.

Geschichte des Logarithmus‘

Als Erstes erwähnten ihn indische Mathematiker im 2. Jahrhundert vor Christus. In der Antike war er zur Berechnung von Exponenten mit der Basis zwei bekannt. Ab dem 13. Jahrhundert erstellten arabische Mathematiker Logarithmus-Tabellen.

Die Rechengesetze für Potenzen an * am = an+m und (an)m = an*m gehen auf den Spezialisten Nicolas Chuquet zurück. Der Schweizer Jost Bürgi veröffentlichte 1620 sein neues System zur Berechnung von Logarithmen.

Im Europa des 17. Jahrhunderts erlangte der Logarithmus in Zusammenhang mit der Astronomie große Bedeutung. Mit der Erfindung von Rechenschieber und Taschenrechner verloren die Tabellen an Wichtigkeit und kamen in den Schulen kaum mehr zum Zug. Der Logarithmus Rechner im Internet ist für einfachere Schulaufgaben eine geeignete Alternative.

Wo kommt der Logarithmus zur Anwendung?

Mit Logarithmen beschreiben Sie zentrale Aspekte des Lebens wie beispielsweise die Stärke eines Sinneseindrucks in Abhängigkeit einer physikalischen Größe. Helligkeit oder Lautstärke nimmt im Verlauf einer Logarithmusfunktion zu. In der belebten Natur wachsen die Schneckenhäuser logarithmisch und Sonnenblumenkerne zeigen Anordnungen von logarithmischen Funktionen. Die Dezibelkurve zur Schallmessung ist logarithmisch, ebenso das Maß für den basischen oder sauren Charakter einer wässerigen Lösung in der Chemie.

Der Logarithmus ist die Basis der Richterskala, die zur Einteilung der Erdbeben dient. Ihre Stärke steigt von Zahl zu Zahl exponentiell an. Die astronomischen Größenklassen zur Klassifizierung der Sterne stellen ein logarithmisches Maß der tatsächlichen Strahlungsstärke dar. Vor der Zeit der elektronischen Rechenmaschinen vereinfachten die Fachleute dank der Logarithmusgesetze die vier Grundoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Die Berechnung der Quadratwurzel beispielsweise ist auf der Ebene des Logarithmus eine Division durch Zwei.

Laien fällt das Logarithmus berechnen schwer. Deshalb benutzten Lehrer und Schüler für diese Aktivitäten einen Rechenschieber mit logarithmischer Skaleneinteilung. Logarithmentafeln waren ebenfalls weit verbreitete Hilfsmittel. Typische Aufgabenstellungen enthalten Wachstums- und Zerfallsprozesse, beispielsweise den Zerfall von Radioaktivität. Dazu benötigen Sie die Umkehrfunktion des Logarithmus, Exponentialfunktion genannt.

Die im Rechner verwendeten Begriffe sind nicht zwingend geläufig. Je nach Bundesland behandeln Lehrer diese in einer tieferen oder höheren Klasse der Schule. Hier einige Erklärungen dazu:

Logarithmand

Der Logarithmand ist die zu logarithmierende Größe. Der Logarithmus Rechner bezeichnet ihn als (a) bezeichnet. Ein Synonym ist der Begriff Numerus. Die Bedeutung stammt aus dem Altgriechischen. Logos bedeutet Lehre, Verständnis oder Verhältnis. Arithmos ist die Zahl. Die gängige Übersetzung ist Verhältniszahl. Sie ist das Ergebnis einer Potenzierung von b mit dem Exponenten x.

Basis

Basis nennen wir eine Zahl, die einen Exponenten zur Potenzierung enthält. Sie berechnen den Logarithmus a zur Basis (b). Dieser heißt Exponent und steht hochgestellt neben der Basis.

Exponent

Den Logarithmus berechnen Sie in der Formel als (x). Auf Deutsch heißt er Hochzahl. Er zeigt an, wie viele Male die Basis mit sich selbst multipliziert wird. 43 bedeutet dasselbe wie 4*4*4. Die Vier multipliziert sich drei Mal mit sich selbst.

Wie funktioniert der Logarithmus Rechner?

Mit ihm ist das Logarithmus berechnen einfach. Die Basisformel lautet:

logb(a) = x und a = bx.

Wenn a und b gegeben sind, berechnen Sie anhand dieser Formel den Exponenten aus. Der Rechner ermöglicht es, mit einem Klick aus a und x b auszurechnen. In folgender Reihenfolge geben Sie zwei der Variablen ein, um die dritte zu erhalten:

Logarithmand (a)
Basis (b)
Exponent (x)

Neben jedem Begriff befindet sich ein Feld, um die gegebene Zahl einzutippen. Daneben ist ein Kästchen mit einem Minus, das bei einem Fehler das Löschen der eingegebenen Zahlen ermöglicht.

Da das Ergebnis oftmals viele Stellen nach dem Komma enthält, geben Sie neben dem Begriff Nachkommastellen unter den angegebenen Zahlen einen Wert zwischen eins und zehn ein, um das Ergebnis direkt zu runden. Der Klick auf das Wort „Berechnen“ unterhalb des Rechteckes erarbeitet das gesuchte Resultat, welches darin erscheint.

In der ersten Linie steht neben dem Wort Ergebnis: das Resultat hinter dem Doppelpunkt. Danach folgt die Auflistung der drei Komponenten a, b und x in derselben Reihenfolge wie oben. Die gesuchte Zahl ist fett gedruckt. Darunter stehen sich beide Formeln gegenübergestellt mit den jeweiligen Zahlen. Das Ergebnis ist wie oben fett dargestellt.

Ein Rechenbeispiel

Sie suchen den Exponenten der Gleichung 3 = 5x. Sie geben folgende Zahlen ein:

Logarithmand (a):       3
Basis (b):           5
Exponent (x):       leer lassen

Je nach Rechnung wählen Sie bei den Nachkommastellen eine Zahl zwischen eins und zehn aus. Meistens genügen zwei Stellen nach dem Komma für das Ergebnis. Der Klick auf das Wort „Berechnen“ generiert folgendes Ergebnis im obenstehenden Rechteck:

Ergebnis: 0.68
a = 3
b = 5
x = 0.68
log5(3) = 0.68, 3 = 50.68

Die Anwendung des Rechners ist bei einfachen Schulaufgaben sinnvoll. Komplexere Zusammenhänge oder Rechnungen mit Ergebnissen mit mehr als zehn Kommastellen benötigen andere Hilfsmittel.