Geometrisches Mittel

Das geometrische Mittel ist ein Mittelwert, den man in der Statistik findet. Er ist ein geeignetes Mittelmaß für Größen, von denen das Produkt anstatt der Summe zu interpretieren ist. Verhältnissen oder zum Beispiel Wachstumsraten. Das geometrische Mittel von zwei Zahlen a und b ergibt die Seitenlänge eines Quadrates, welches über den gleichen Flächeninhalt verfügt, wie das Rechteck mit den Seitenlängen a und b. Diese Fakten werden durch die geometrische Quadratur des Rechtecks gezeigt.

Das geometrische Mittel hat bei drei Zahlen von der Seitenlänge eines Würfels, das gleiche Volumen wie der Quader mit den drei Seitenlängen, und im n-dimensionalen bei n Zahlen die gleichen Seitenlängen wie von einem Hyperwürfel.

Anwendung des geometrischen Mittel

Für die Finanzmathematik ist das geometrische Mittel sehr wichtig, da durchschnittliche Wachstumsfaktoren, zum Beispiel das BIP-Wachstum oder das durchschnittliche Wachstum der Gewinne für Unternehmen berechnet werden können. Ein arithmetisch geometrisches Mittel von zwei positiven reellen Zahlen ist eine bestimmte Zahl, die zwischen dem arithmetischen Mittel und dem geometrischen Mittel liegt.

Mittelwerte werden auch nur als Mittel bezeichnet, treten in der Statistik meistens als Durchschnitt auf anstelle von arithmetisches Mittel, die in der Mathematik und in der Statistik unterschiedliche Kontexte im Inhalt aufweisen. Jedem Mittelwert liegt eine Vorschrift zugrunde, die zwei oder mehr Zahlen und eine weitere errechnet, die zwischen den vorgegeben Zahlen liegt.

In der Statistik wird der Mittelwert als der Erwartungswert dargestellt. Er ist ein Lageparameter der Häufigkeitsverteilung sowie der Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die Lage der Elemente einer Stichprobe wird beschrieben und im Bezug auf die Messskala die Grundgesamtheit.

Geschichtlich traten Mittelwerte in der Mathematik, bereits in der Antike auf. Die drei klassischen Mittelwerte,also arithmetisches, geometrisches und harmonisches Mittel waren vorzufinden.
Pappos von Alexandria markierte zehn unterschiedliche Mittelwerte von 2 Zahlen a und b durch spezielle Werte des Streckenverhältnisses. Sogar die Ungleichung zwischen harmonischem, geometrischem und arithmetischem Mittel war in der Antike bekannt und wurde geometrisch erläutert
In der Analysis waren Mittelwerte im 19. und 20. Jahrhundert sehr wichtig.

Bekannte Ungleichungen und wichtigen Funktionseigenschaften , also zum Beispiel die Hölder-Ungleichung oder die Umgleichung von Minkowski wurden erforscht, sowie die Jensensche Ungleichung Die klassischen Mittelwerte wurden in mehreren Schritten allgemeiner veranlagt sowie auch den Potenzmittelwerten und dadurch auch die arithmetischen Mittelwerte. Die Ungleichung zwischen harmonischem, geometrischem und arithmetischem Mittel, die klassisch war, wandelte sich in die allgemeinere Ungleichung zwischen Potenzmittelwerten beziehungsweise arithmetischen Mittelwerten um.

Sonstige Mittelwerte, sind der Modus, also der häufigste Wert und der Median, der stabil zu extremen Abweichungen ist, die auch als Ausreißer bezeichnet werden. Mittelwerte lassen sich kombinieren.