Bewegungsgleichung
Hier können Sie die Bewegungsgleichung bei harmonischen Schwingungen berechnen lassen. Dazu müssen Sie unten lediglich die maximale Auslenkung, die Winkelgeschwindigkeit sowie die Schwingungsdauer eingeben.
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Die Bewegungsgleichung umfasst folgenden Fall. Sie haben ein Pendel und möchten dieses in harmonische Schwingungen versetzen. Nun gilt es herauszufinden wie effektiv der Schwung ist. Hierbei geht es um Schwankungen, die ein Objekt anstrebt. Es geht immer wieder für einen kurzen Moment in die Mittelposition, bevor sich das Pendel wieder auschwingt. Ein Schwung geht praktisch immer hin und her und sollte dabei so harmonisch wie nur möglich verlaufen. Diese Harmonie lässt sich am Bewegungsmuster erkennen.
Nun kann ein Pendel selbst gebaut werden, um den Schwung zu testen und diese Berechnung anzustellen. Dieser Schwung ist ganz einfach hin zu bekommen. Sie benötigen lediglich ein Pendel. Die Schwingung wird natürlich auch durch andere Umweltfaktoren beeinflusst. So wird diese Schwingung auch durch Reibung und verschiedene Luftwiderstände beeinflusst. Es geht in der Physik immer wieder um solche Versuche. Hierbei wird noch zwischen periodischen Schwingungen unterschieden. Das kann ganz einfach selbst gebaut werden. Mit einem einfachen Fadenpendel ist es möglich den Schwung zu simulieren. Nun muss dieser Schwung auch sehr schnell umgesetzt werden. Das Pendel muss dabei so angestoßen werden, dass hier eine sehr gute Schwingung erzeugt wird. Diese Schwingung muss dann auch so harmonisch wie nur möglich sein. Damit wird dieser Schwung und die Energie, die daraus resultiert, ganz einfach umgesetzt.
Der Rechner
Nehmen Sie also ein Fadenpendel und bauen Sie dies bei Bedarf selbst. Sie benötigen nun die maximale Auslenkung und die Winkelgeschwindigkeit des Pendels. Diese Werte geben Sie bitte in dem Rechner ein. Auch eine Stoppuhr wird als Helfer sehr sinnvoll sein. Denn Sie müssen auch die Schwingungsdauer messen. Das können Sie in Sekunden angeben und dann in den Rechner übertragen. Das sind auch schon alle Werte, die benötigt werden um das Ergebnis zu untermauern. Anschließend können Sie mit einem Klick auf berechnen ein Ergebnis angezeigt bekommen.
Das Beispiel
Ihr Pendel verfügt über eine harmonische Schwingung und wird diese als maximale Auslenkung von 0,5 Meter nutzen. Diese Zahl müssen Sie nun in den Rechner eingeben. Die Winkelgeschwindigkeit liegt hier bei diesem Fall bei 25 und die Schwingungsdauer liegt bei 12,5 Sekunden. Nun wird es wichtig sein, dass Sie all diese Werte richtig in den Rechner eingeben. Sie müssen nun nur noch das Ergebnis anfordern und sich darüber informieren. Das ist wichtig. Geben Sie die Zahlen in den Rechner ein und schauen Sie sich das Ergebnis in dem kleinen Feld weiter unten an. Nun haben Sie Ihren Wert für die Bewegungsgleichung erhalten. Hierbei kommt folgendes zum Vorschein: Die Geschwindigkeit des Schwingers beträgt : -0,37 m/s. Erstaunlich ist, dass es sich dabei um ein negatives Ergebnis handelt. Dieses wird durch die verschiedenen Werte noch genauer untermauert. Sie werden erstaunt sein, wie einfach es ist diesen Rechner zu nutzen. Vor allem Sie als Physikstudent werden von dem Rechner begeistert sein und sicher genauer wissen wollen, wie das alles funktioniert. Das alles wird ermöglicht mit Anstrebungen, die Sie selber veranlassen können. Sie können jederzeit auf den Rechner zurückgreifen und die Ergebnisse finden.
Häufig gestellte Fragen
Was versteht man unter der Bewegungsgleichung bei harmonischen Schwingungen?
Wovon ist die Bewegungsgleichung bei harmonischen Schwingungen abhängig?
Wie wird die Bewegungsgleichung bei harmonischen Schwingungen berechnet?
Berechnungsbeispiel aus der Praxis
Häufig gestellte Fragen
Was versteht man unter der Bewegungsgleichung bei harmonischen Schwingungen?
Harmonische Schwingungen sind sich periodisch wiederholende Schwankungen einer bestimmten physikalischen Größe um ihrem Mittelwert. Diese Schwingungen werden deshalb auch als Oszillationen bezeichnet, sie weisen in der Natur oft einen sinusförmigen Verlauf auf.
Die Physik unterscheidet zwischen gedämpften und ungedämpften Schwingungen. Letztere kommen in der Praxis bei mechanischen Aufbauten nie vor, da jede Schwingung durch Reibung oder Luftwiderstände bis zum Stillstand abgebremst wird, wenn diese Verluste nicht durch von außen zugeführte Energie wieder ausgeglichen wird.
Stellt man sich als periodisch schwingendes System ein einfaches Fadenpendel vor, so erlaubt es die Bewegungsgleichung für harmonische Schwingungen, zu jedem beliebigen Zeitpunkt die jeweilige Auslenkung aus dem Nullpunkt (der Ruhelage) des Pendels zu bestimmen.
Wovon ist die Bewegungsgleichung bei harmonischen Schwingungen abhängig?
Stellt man die über einen gewissen Zeitabschnitt die Auslenkung einer harmonischen Schwingung in einem Diagramm dar (Zeit auf der X-Achse und Auslenkung auf der Y-Achse) so lässt der entsprechend sinusförmige Verlauf erkennen, dass es drei wichtige Abhängigkeiten gibt:
1. Die maximale Amplitude der Schwingung beschreibt die betragsmäßig höchste Abweichung von der Nulllinie (und zwar bei symmetrischen Schwingungen sowohl in die positive als auch die negative Richtung).
2. Die Periodendauer beschreibt die für einen vollen Durchlauf der Schwingung benötigte Zeit (bis sich das Schwingungsbild beginnt zu wiederholen).
3. Der Phasenwinkel zu Beginn des Betrachtungszeitraums ist immer dann wichtig, wenn das Schwingungssystem nicht aus der Nulllage heraus gestartet wird.
Wie wird die Bewegungsgleichung bei harmonischen Schwingungen berechnet?
y(t) = ymax * sin (w * t + )
ymax … Maximale Auslenkung (Amplitude), meist in Meter
w … Winkelgeschwindigkeit in 1/s
t … aktueller Betrachungszeitpunkt
… Phasenwinkel zu Beginn des Betrachtungszeitraums im Bogenmaß
Die Winkelgeschwindigkeit w wird dabei mit folgender Formel beschrieben:
w = 2p * f (f = Frequenz der Schwingung = 1 / Periodendauer einer Schwingung)
= 2p / T
Berechnungsbeispiel aus der Praxis
Ein Federpendel wird aus der höchsten Position heraus ( = 90°, ymax = 20 cm) in eine harmonische Schwingung versetzt. Bis zum Wiedererreichen dieser Position vergehen 10 Sekunden. Zu berechnen ist die momentane Auslenkung aus der Ruhelage nach 12,5 Sekunden.
Zunächst muss die oben gemachte Angabe des Phasenwinkels ( = 90°) zu Beginn der Betrachtung ins Bogenmaß umgerechnet werden. Dies erfolgt durch die allgemeine Konvertierungsvorschrift
Bogenmaß = Gradmaß * p / 180
= 90 * p / 180
= 1,57
Unter Anwendung in der oben gezeigten Formel lässt sich die momentane Auslenkung wie folgt berechnen:
y(t) = ymax * sin (2p / T * t + Bogenmaß)
= 20 cm * sin (2p / 10 s * 12,5 s + 1,57)
= 20 cm * sin (9,425...)
= 0 cm
Das Pendel befindet sich nach 12,5 Sekunden also genau im Nullpunkt seiner Schwingung.