Harmonisches Mittel berechnen

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Mittelwerte sind Größen, die im mathematischen Bereich der Statistik Bedeutung haben und hier Verwendung finden. Hierbei geht es um die Beziehung zwischen zwei oder mehreren Zahlen zu einander. Der Mittelwert wird auf verschiedene Weisen berechnet. Alle Rechenwege haben eine ganz bestimmte Vorschrift, das heißt einen vorgegebenen Rechenweg zugrunde liegen. Der Mittelwert wird oft auch Erwartungswert genannt.

Es geht also darum, anhand bereits erfasster tatsächlicher Werte einen Trend zu ermitteln. Diese Form der Statistik findet in nahezu allen Bereichen des Lebens statt. Neben mathematischer und physikalischer Bedeutung hat diese statistische Größe auch bei Umfragen und Erhebungen eine große Bedeutung. Generell geht es darum, aus einigen wenigen vorhandenen Werten als Teilmenge der Gesamtmenge eine repräsentative Aussage über einen Zustand oder eine Entwicklung treffen zu können. Dies ist interessant im Hinblick auf demografische Beobachtungen einer Bevölkerung, oder auch in der Politik, wo anhand berechneter Mittelwerte eine Prognose für das zu erwartende Wahlergebnis getroffen wird.

In der industriellen Fertigung haben Mittelwerte ebenfalls eine große Bedeutung. Insbesondere Betrieben, die große Stückzahlen produzieren, ist es nicht möglich, jedes einzelne Produkt einer umfassenden Qualitätsprüfung zu unterziehen. Daher werden in bestimmten Zeitabständen zu festgelegten Uhrzeiten Proben entnommen. Diese Proben stehen dann repräsentativ für die gesamte Fertigung. In diesem Zusammenhang werde dann die PPM (parts per million) errechnet. Das bedeutet, wen eine Probe einen vordefinierten Defekt aufweist, so wir dies unter Berücksichtigung der Gesamtproduktionsmenge ins Verhältnis gesetzt.

So kann die Qualitätssicherung einigermaßen zuverlässig vorhersagen, daß der gefundene Defekt in einer bestimmten Anzahl in der Gesamtproduktion wiederzufinden ist. Einen Mittelwert kann man rein mathematisch bereit ab zwei Werten aufwärts ermitteln. Um jedoch eine zuverlässige Aussage treffen zu können, gehen Statistiker davon aus, daß eine Anzahl von mindestens 30 Werten eine zuverlässige Aussage zulässt. Die bereits erwähnten unterschiedlichen Wege sind unter anderem das arithmetische Mittel, das geometrische Mittel, das quadratische Mittel, das kubische Mittel und das hier behandelte harmonische Mittel.

Das arithmetische Mittel ist sehr wahrscheinlich das bekannteste und einfachste Mittel. Hier werden alle zur Verfügung stehenden Werte zueinander addiert und das Gesamtergebnis durch die Anzahl der Werte dividiert. Jedoch gibt es Fälle, in denen dieser Rechenweg falsch ist, da nicht alle Parameter berücksichtigt werden. Die folgende Beispielrechnung soll erklären, warum dies so ist. In diesem Beispiel wird angenommen, daß ein Fahrzeug eine Gesamtstrecke absolviert, die in insgesamt 4 Teilstrecken aufgeteilt ist Diese Teilstrecken sind unterschiedlich lang und die Geschwindigkeit auf diesen vier Teilstrecken ist ebenfalls unterschiedlich.

Beispielrechnung:

Nennen wir die Teilstrecken A, B, C und D.

Länge der Teilstrecken in Kilometern: A: 2 km, B: 4km, C: 3km, D: 8 km
Geschwindigkeit auf diesen Teilstrecken in km/h: A: 40 km/h, B: 50 km/h, C: 80 km/h D: 100 km/h
Hier würde es nicht ausreichen, einfach die 4 verschiedenen Geschwindigkeiten zu addieren und durch 4 (Anzahl) zu dividieren, da in diesem Falle nicht berücksichtigt würde, daß die Teilstrecken unterschiedlich lang sind. Man muß daher die Länge der Teilstrecken mit in die Berechnung einbeziehen.

Dies geschieht, indem man den Mittelwert der Kehrwerte der jeweiligen Geschwindigkeiten unter Berücksichtigung der Länge der jeweiligen Teilstrecken zugrunde legt. Diese Teilergebnisse werden miteinander addiert. Anschließend wird die Gesamtlänge der Stecke durch dieses Teilergebnis geteilt.

Die Brüche im Einzelnen: 2/40 + 4/50 + 3/80 + 8/100 = 0,05 + 0,08 + 0,0375 + 0,08 = 0,2475
Dividieren wir nun die Gesamtlänge der Strecken (2 + 4 + 3 + 8 = 17) so erhalten wir 17 / 0,2475 = 68,68687 km/h.

Zum Vergleich: das arithmetische Mittel aus den Geschwindigkeiten wäre (40 + 50 + 80 + 100) / 4 wäre 67,5 gewesen.

Das harmonische Mittel wird also dann angewendet, wenn sich die Zusatzinformationen eines Zahlenverhältnisses auf den Nenner auswirken, während das arithmetische Mittel angewendet wird, wenn sich die Zusatzinformationen nur auf den Zähler auswirken.

Das harmonische Mittel ist das arithmetische Mittel des Kehrwertes der zur Verfügung stehenden Zahlen.

Benutzung des online tools

Um diese komplexe Berechnung zu umgehen, kann das kostenlose online tool genutzt werden. Hierzu müssen nur in die dafür vorgesehenen Felder die vorhandenen Werte eingegeben werden. Hierzu stehen 3 Felder zur Verfügung. Mit Hilfe des Buttons „Weiteren Wert“ können zusätzliche Eingabefelder für weitere Werte generiert werden. Das Ergebnis erscheint nach Betätigen der Schaltfläche „Berechnen“ im Lösungseld.