Goldenen Schnitt berechnen

Das Teilungsverhältnis einer Strecke oder anderer Größen, bei dem das Verhältnis des Ganzen zum größeren Teil, dem Verhältnis vom Größeren (Major) zum Kleineren (Minor) entspricht, heißt Goldener Schnitt. Sie wollen den Goldenen Schnitt berechnen? Benutzen Sie unseren Goldenen-Schnitt-Rechner und erhalten Sie schnell und unkompliziert das Ergebnis.

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Wie berechnen Sie den Goldenen Schnitt mit unserem Rechner?

Davon ausgegangen, dass, wenn Sie Punkt A und Punkt B durch eine Strecke verbinden, sich zwischen ihnen ein Punkt S befindet, der die Strecke in einem besonderen Verhältnis teilt, können Sie Ihre Angaben entsprechend in unseren Rechner eintragen, der ihnen umgehend und kostenlos das Ergebnis liefern wird.

Strecke a:

Die Länge der Strecke zwischen A und S wird als „Strecke a“ bezeichnet. Ist sie gegeben, wird ihre Länge als Zahl in das erste Kästchen des Rechners eingetragen.

Strecke b:

Die „Strecke b“ befindet sich zwischen den Punkten S und B und ist immer kürzer als Strecke a. Sie können auch die Länge der Strecke b in das zweite Kästchen des Rechners eintragen, wenn Ihnen Strecke a nicht bekannt ist.

Strecke a+b:

Eine dritte Möglichkeit ist die Angabe der Gesamtlänge der Strecke zwischen den Punkten A und B, die sich aus der Summe der Teilstrecken a und b ergibt. Sie kann in das dritte Kästchen eingetragen werden.

Beispielrechnung:

Um Ihnen die Arbeitsweise des Goldenen-Schnitt-Rechners zu veranschaulichen, haben wir eine einfache Beispielrechnung vorbereitet. Sie haben eine Strecke zwischen den Punkten A und B, die 5 m lang ist. Auf dieser Strecke befindet sich der Goldene Schnitt S.

Wenn Sie nun in das Feld a+b die Zahl 5 eingeben, und auf Berechnen klicken, wird Ihnen der Rechner in dem Ergebnisfeld anzeigen, dass die Strecke a zwischen A und S 3,0902 m beträgt und die Strecke b zwischen B und S 1,9098 m.

Was ist der Goldene Schnitt?

Werden zwei Punkte A und B durch eine Strecke verbunden, befindet sich zwischen ihnen ein Punkt C, der die Strecke in einem besonderen Verhältnis teilt. Er liegt dort, wo die Länge des kleineren zum größeren Abschnitt ebenso groß ist wie der größere Abschnitt zur gesamten Streckenlänge. Die griechischen Buchstaben Phi (?), oder Tau (?) werden in der Mathematik meistens für den Ausdruck des Goldenen Schnitts benutzt. Ebenso gängig ist der Buchstabe „g“.

Die einfachsten Berechnungsmethoden

Es gibt viele Wege, um zum Goldenen Schnitt zu gelangen. Wir haben Ihnen die einfachsten drei Berechnungswege zusammengestellt.

Fibonacci: Am einfachsten lässt sich das Prinzip des Goldenen Schnitts wohl mit der Fibonacci-Folge erklären. Diese unendliche Zahlenfolge stammt von dem italienischen Mathematiker Leonardo da Pisa, genannt „Fibonacci“ aus dem Jahr 1202.

Er entschlüsselte Teile, des bis dahin willkürlich erscheinenden, Wachstum, in der Natur. Wenn Sie einen Fokuspunkt haben, errechnet sich der Goldene Schnitt durch die einfach Zahlenfolge des Fibonacci-Codes. Punkt 1 (der Kleinste) ist die Ausgangsgröße.

Punkt 1+ Punkt 1 = Punkt 2
Punkt 2 + Punkt 1 = Punkt 3
Punkt 3 + Punkt 2 = Punkt 5
Punkt 5 + Punkt 3 = Punkt 8
usw.

Nehmen Sie immer die vorherige Größe und addieren Sie diese zu der aktuellen, um die nächste Zahl zu bekommen. In einer Formel ausgedrückt ist es: A + B zu A wie A zu B.

Quadrat und Kreise: Man erstellt auf der Grundlinie ein Quadrat, das senkrecht in der Mitte geteilt wird. Nun schlägt man um eine obere Ecke einen Kreis mit der halben Quadratseite als Radius.

Jetzt schlägt man um die Mitte der Grundlinie einen weiteren Kreis, der so groß ist, dass er den ersten Kreis berührt. Dort wo sich die beiden Kreise schneiden, zieht man eine Linie zur Grundlinie – diese wird so nach dem Goldenen Schnitt geteilt.

Wofür braucht man den Goldenen Schnitt?

Die Berechnung des Goldenen Schnittes ist ein wichtiger Bestandteil der Schulbildung im Fach Mathematik und in der Geometrie. In einem gleichschenkligen Dreieck oder einem Rechteck gibt der Goldene Schnitt Auskunft über das Seitenverhältnis, in einem regulären Fünfeck teilen sich zwei Diagonalen ohne gemeinsamen Endpunkt im Goldenen Schnitt.

Mithilfe seiner Berechnung lässt sich außerdem die Konvergenz unendlicher Kettenbrüche beweisen. Folglich ist dieses hilfreiche Tool für Schüler und Studenten ebenso interessant wie für Fachleute aus den Bereichen Biologie, Astronomie, Geologie, Architektur, Musik, Kunst und Informatik.

Der Goldene Schnitt in Kunst und Architektur

Bei der Kunst und in der Architektur ist der Goldene Schnitt deshalb so wichtig, weil er das gefälligste Verhältnis für die Betrachtung darstellt. Allen Stilepochen, ob in der griechischen Antike, dem Mittelalter und in der Renaissance – der Goldene Schnitt war schon immer das Maß der Dinge, wenn es darum ging, die harmonische Schönheit der Natur in Architektur und bildender Kunst und sogar in der Musik aufzugreifen.

Die exakten Formen eines unter dem Mikroskop betrachteten Eiskristalls, die Körperproportionen von Tieren und Pflanzen – alle folgen dem mystisch anmutenden Zahlenverhältnis. Den musikalischen Dreiklang aus Terz, Quinte und Oktave, der mathematischen Konstante 3:5:8, kannten schon die Pythagoreer, bevor sie ihn im Pentagramm als messbare Perfektion wiederfanden.

Eins der wohl bekanntesten Werke der bildenden Kunst, welches dem Goldenen Schnitt zugrunde liegt, ist Leonardo da Vincis Proportionsstudie „David“ und seine „Mona Lisa“. Aber auch weniger wissenschaftliche Künstler von Renaissance bis Neuzeit arbeiten mit dem Goldenen Schnitt.

1416 wurde eine Handschrift des römischen Baumeisters Vitruvius über die Lehre der Proportionen gefunden, die viele Künstler und Architekten inspirierte. Er behauptete, dass die Maße des Menschen von der Natur so geordnet seien, dass vier Finger eine Handbreite, vier Handbreiten eine Fuß, sechs Handbreiten eine Elle, vier Ellen die Größe des Menschen, sowie einen Schritt, und vierundzwanzig Handbreiten die Größe des Menschen ausmachen.

Diese Erkenntnis setzte er in seinen Bauwerken um. Er meinte, dass wenn man die Beine so weit spreizt, dass man um ein Vierzehntel seiner Größe abnimmt, die Arme ausbreitet und hebt, bis man die Scheitellinie des Kopfes mit den Mittelfingern berührt, so solle man wissen, dass der Mittelpunkt des Kreises, der durch die Enden der gestreckten Gliedmaße gebildet wird, der Nabel ist.

Der Zwischenraum zwischen den Beinen bilde ein gleichseitiges Dreieck. Die Spanne der ausgebreiteten Arme des Menschen ist gleich seiner Höhe. Der Abstand von Haaransatz bis zum Rand des Unterkinns ist ein Zehntel der Größe des Menschen, der vom unteren Rand des Kinns bis zum Scheitel des Kopfes ist ein Achtel der Größe des Menschen, der vom oberen Rand der Brust bis zum Scheitel des Kopfes ein Sechstel des Menschen. (Auszug aus Ullmann)

Auch in anderen ästhetischen Bereichen spielt er eine große Rolle. Die Drittelregel der Fotografie ist an die Proportionslehre des Goldenen Schnitts angelehnt. Im Buchdruck wird die Nutzfläche einer Seite – der Satzspiegel – oft im Verhältnis 2:3:5:8, in Bezug von Bundsteg zu Kopfsteg zu Außensteg zu Fußsteg, gewählt.

Solche Seitenverhältnisse findet man überall. Ob Bildschirmauflösungen, Fernseh- oder Fotoformate. Auch die DIN- und ISO-Maße folgen beispielsweise auch dem Goldenen Schnitt, wenn man bedenkt, dass bei einer Halbierung durch einen Schnitt, der die längeren Seiten des Rechtecks halbiert, wiederum Rechtecke mit demselben Seitenverhältnis entstehen.

Die Natur und der Goldene Schnitt

Die spezielle Anordnung und Strukturen einiger Blätter und Blütenstände mancher Pflanzen wird von einem Winkel zwischen zwei aufeinanderfolgenden Blättern in einem Vollkreis von 360° im Verhältnis des Goldenen Schnittes getrennt. Zwei von unzähligen Beispielen hierfür sind die Sonnenblume und die wilde Heckenrose.

Bei der Sonnenblume sitzen die Blüten auf der scheibenförmigen Blütenstandachse dicht nebeneinander. Jede einzelne Blüte kann einem Kreis um den Mittelpunkt der Blütenstandachse zugeordnet werden. Durch ihr Wachstum aufeinander folgende Früchte liegen daher räumlich weit auseinander, während direkte Nachbarn wieder einen Abstand entsprechend einer Fibonaccizahl haben.

Die Abweichung vom mathematischen Goldenen Schnitt beträgt weniger als 0,01 %. Bei der wilden Heckenrose sind die radiärsymmetrischen fünfzähligen Blüten ein erkennbares Zeichen für den Goldenen Schnitt. Der Abstand der Spitzen von Blütenblättern verhält sich zu den nächsten Nachbarn und zu den übernächsten, wie beim regelmäßigen Fünfeck üblich, in Verhältnis des Goldenen Schnitts.

Der Goldene Schnitt in der Astronomie

Das Verhältnis des Goldenen Schnitts wurde bei den Umlaufzeiten mancher Planeten und Monde bewiesen. Diese Bahnresonanzen wirken langfristig gegen Störungen und stabilisieren die Umlaufbahnen.

Auch in der Forschung über Schwarze Löcher stieß man auf den Goldenen Schnitt. Bei schwarzen Löchern, die rotieren, findet ab einer kritischen Geschwindigkeit ein Umschlag von negativer zu positiver Wärmekapazität statt. Dieser „Tipping-Point“ wird nur von der Masse und dem Goldenen Schnitt definiert.

Religion und der Goldene Schnitt

Das Pentagramm ist eines der ältesten mit Religion und Magie in Verbindung gebrachten Symbole und steht wie kaum ein anderes für den Goldenen Schnitt. Es ist das Symbol von Venus – dem Planeten, wie auch der Göttin. Die siderische Umlaufzeit der Erde beträgt 365,256 Tage und die der Venus 224,7 Tage, was einem Verhältnis von 13:8 entspricht. In dieser Zeit umrundet die Venus in acht Jahren fast exakt 13 Mal die Sonne. Dabei trifft sie fünf Mal auf die Erde.

Im Polarkoordinatensystem eingetragen ergeben diese Begegnungen 0°, 144°, 288°, 72°, 216° und erneut 0° – was miteinander verbunden ein Pentagramm ergibt. Es gibt noch viele weitere religiöse Bedeutungen, die mit dem Goldenen Schnitt in Verbindung gebracht werden können. Ob bei Naturreligionen wie den Druiden, Neuzeit-Wicca für die Pentragramme eine bedeutende Rolle spielten oder im Islam, bei dem die Verortung von Mecca besonders wichtig ist.

Mekka soll auf dem Goldenen Schnitt der Erdoberfläche liegen und im Verhältnis von 1,618 zum Nordpol und zum Südpol liegen. Das Verhältnis der Kaaba (quaderförmiges Gebäude im Innenhof der Moschee in Mekka, welche einen Meteoriten beherbergt) zu Mekka beträgt ebenfalls 1,618. Schon die polytheistischen Araber nutzen die Kaaba als Orientierungspunkt.

Die Geschichte der göttlichen Proportion

Auch wenn es den Begriff „Goldener Schnitt“ erst seit der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts gibt, existieren erste Aufzeichnungen über die Kenntnis über das mathematische Prinzip schon seit der griechischen Antike.

In Aufzeichnungen von Euklid von Alexandria, der 300 v. Chr. lebte, wird dessen Kenntnis über das Teilungsverhältnis 1:1,618 erstmals in seinem zweiten Buch über die geometrische Algebra (Pythagoreer) erwähnt, die er u. a. bei seinen Forschungen über das Pentagramm entdeckte. Sein Name für diese Entdeckung wurde ins Lateinische übersetzt und lautete „proportio habens medium et duo extrema“ was übersetzt so viel wie „Proportionale Teilung im inneren und äußeren Verhältnis“ bedeutet.

Doch Forscher, Architekten und Mathematiker kannten schon lange vor Euklid den Goldenen Schnitt. Die Cheops-Pyramide von Gizeh (Ägypten, ca. 2590 bis 2470 v. Chr.), ist ein perfektes Beispiel für Baukunst mit dem Goldenen Schnitt. So beträgt die Seitenlänge der Cheops-Pyramide 230,4 m bei einer ursprünglichen Höhe von 146,6 m.

(Literatur: Wikipedia, Brockhaus, Ullmann, Schülerlexikon)

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